Главная | Деятельность | Мероприятия | Школа юных | Работа с учителями |
Мероприятия » Международный математический Турнир Городов » Архив » 26 ТГ - Весна - Условия задач 10-11 кл - Основной вариант
27 февраля 2005 г.

• Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты
• Очки за пункты одной задачи суммируются

Очки Задачи
4 1. На графике многочлена с целыми коэффициентами отмечены две точки с целыми координатами. Докажите, что если расстояние между ними - целое число, то соединяющий их отрезок параллелен оси абсцисс.
5 2. Окружность W1 проходит через центр окружности W2. Из точки C на W1 проведены касательные к W2, вторично пересекающие W1 в точках A и B. Докажите, что отрезок AB перпендикулярен прямой, проходящей через центры окружностей.
5 3. Фома и Ерема делят кучу из 25 монет в 1, 2, 3, ..., 25 алтынов. На каждом ходу один из них выбирает монету из кучи, а другой говорит, кому ее отдать. Первый раз выбирает Фома, далее тот, у кого сейчас больше алтынов, при равенстве — тот же, кто в прошлый раз. Может ли Фома действовать так, чтобы в итоге обязательно получить больше алтынов, чем Ерема, или Ерема всегда сможет Фоме помешать?
6 4. Существует ли такой квадратный трехчлен f(x), что для любого целого положительного n уравнение f(f (...f (x))) = 0 (здесь n букв "f") имеет ровно 2n различных действительных корней?
7 5. Икосаэдр и додекаэдр вписаны в одну и ту же сферу. Докажите, что тогда они описаны вокруг одной и той же сферы. (Напомним, что у икосаэдра 20 одинаковых граней в виде правильного треугольника, в каждой вершине сходится 5 граней, углы между соседними гранями одинаковы; у додекаэдра 12 одинаковых граней в виде правильного пятиугольника, в каждой вершине сходится 3 грани, углы между соседними гранями одинаковы.)
7 6. Пусть a — угловая клетка шахматной доски 8x8, b — соседняя с ней по диагонали клетка. Докажите, что число способов обойти всю доску «хромой ладьей», начиная с клетки a, больше, чем число способов обойти всю доску «хромой ладьей», начиная с клетки b. («Хромая ладья» ходит по доске на одну клетку по вертикали или горизонтали. Ладья должна побывать на каждой клетке доски ровно один раз.)
  7. В пространстве даны 200 точек. Каждые две из них соединены отрезком, причем отрезки не пересекаются друг с другом. Каждый отрезок покрашен в один из K цветов. Петя хочет покрасить в один из тех же цветов каждую точку так, чтобы не нашлось двух точек и отрезка между ними, окрашенных в один цвет. Всегда ли Пете это удастся, если
4   а) K=7;
4   б) K=10?