| Баллы |
Задачи |
|
3
|
1.
|
Три окружности проходят через точку X. A, B, C – точки их пересечения, отличные от X. A' – вторая точка пересечения прямой AX и окружности, описанной около треугольника BCX. Точки B' и C' определяются аналогично. Докажите, что треугольники ABC', AB'C и A'BC подобны.
|
|
3
|
2.
|
В ящике лежат 100 шариков белого, синего и красного цвета. Если, не заглядывая в ящик, вытащить 26 шариков, то среди них обязательно найдутся 10 шариков одинакового цвета. Какое наименьшее число шариков нужно вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них наверняка нашлись 30 шариков одинакового цвета?
|
|
4
|
3.
|
Даны два многочлена положительной степени P(x) и Q(x), причём выполнены тождества P(P(x))=Q(Q(x)) и P(P(P(x)))=Q(Q(Q(x))). Обязательно ли тогда выполнено тождество P(x)=Q(x)?
|
|
4
|
4.
|
Сколько существует разных способов разбить число 2004 на целые положительные слагаемые, которые приблизительно равны? Слагаемых может быть одно или несколько. Числа называются приблизительно равными, если их разность не больше 1. Способы, отличающиеся только порядком слагаемых, считаются одинаковыми.
|
|
5
|
5.
|
При каких N можно числа от 1 до N расставить в другом порядке так, чтобы среднее арифметическое любой группы из двух или более подряд идущих чисел не было целым?
|
