ДВАДЦАТЬ СЕДЬМОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ

Задачи весеннего тура

Основной вариант   26 февраля 2006 г.

Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты


Баллы за пункты одной задачи суммируются

6-7-8¢ классы

Баллы	Задачи
4	1. Аня и Боря распределили между собой все числа от 1 до 2006: Аня взяла все нечетные, а Боря - все четные. Затем каждый из них посчитал сумму цифр всех своих чисел. У кого сумма получилась больше и насколько?
4	2. Найдите 10 пар целых чисел, так чтобы в десятичной записи каждого числа все цифры были не меньше 5, и произведение чисел каждой пары тоже было числом, где все цифры не меньше 5. (Числа в парах могут повторяться.)
4	3. Бильярдный стол имеет вид прямоугольника 2x1, в углах и на серединах больших сторон ко-торого расположены лузы. Какое наименьшее число шаров надо расположить внутри прямоугольника, чтобы любая луза находилась на одной линии с некоторыми двумя шарами? (Лузы и шары считайте точками.)
5	4. В таблице 4x5 расставлены числа 0, 1, 2 так, что сумма чисел в каждом столбце и в каждой строке делится на 3. Какое наибольшее возможное количество единиц может быть в этой таблице?
6	5. Три водителя зашли в придорожное кофе. Один водитель купил четыре булочки, чашку кофе и десять пончиков на общую сумму 1690 рублей. Второй водитель купил три булочки, чашку кофе и семь пончиков за 1260 рублей. Сколько заплатил третий водитель за три булочки, три чашки кофе и три пончика?
2  4	6. Юра и Яша имеют по экземпляру одной и той же клетчатой таблицы 5x5, заполненной 25 различными числами. Юра выбирает наибольшее число в таблице, затем вычеркивает строку и столбец, содержащие это число, затем выбирает наибольшее из оставшихся чисел, вычеркивает строку и столбец, содержащие это число, и т.д. Яша производит аналогичные действия, но на каждом шаге выбирает любые числа (по крайней мере одно число Яши отличается от чисел Юры). а) Покажите, что существуют таблицы такие, что сумма чисел выбранных Юрой будет всегда больше суммы чисел, выбранных Яшей (как бы он ни выбирал свои числа)? б) Верно ли утверждение пункта а) для любой таблицы?

8-9 классы

Баллы	Задачи
4	1. Бильярдный стол имеет вид прямоугольника 2x1, в углах и на серединах больших сторон которого расположены лузы. Какое наименьшее число шаров надо расположить внутри прямоугольника, чтобы любая луза находилась на одной линии с некоторыми двумя шарами? (Лузы и шары считайте точками.)
4	2. Докажите, что можно найти 100 пар целых чисел, так чтобы в десятичной записи каждого числа все цифры были не меньше 6, и произведение чисел каждой пары тоже было числом, где все цифры не меньше 6.
5	3. Дан остроугольный треугольник ABC. На сторонах AB и BC во внешнюю сторону построены равные прямоугольники ABMN и LBCK так, что AB = LB. Докажите, что прямые AL, CM и NK пересекаются в одной точке.
5	4. Существует ли такое натуральное число n, что десятичная запись числа 2n начинается цифрой 5, а десятичная запись числа 5n начинается цифрой 2?
6	5. В таблице 2005x2006 расставлены числа 0, 1, 2 так, что сумма чисел в каждом столбце и в каждой строке делится на 3. Какое наибольшее возможное количество единиц может быть в этой таблице?
6	6. Криволинейный многоугольник - это многоугольник, стороны которого - дуги окружностей. Существуют ли такой криволинейный многоугольник P и такая точка A на его границе, что любая прямая, проходящая через точку A, делит периметр многоугольника P на два куска равной длины?
6  2	7. Юра и Яша имеют по экземпляру одной и той же клетчатой таблицы 5x5, заполненной 25 различными числами. Юра выбирает наибольшее число в таблице, затем вычеркивает строку и столбец, содержащие это число, затем выбирает наибольшее из оставшихся чисел, вычеркивает строку и столбец, содержащие это число, и т.д. Яша производит аналогичные действия, но выбирает наименьшие числа. Может ли случиться, что сумма чисел, выбранных Яшей а) больше суммы чисел, выбранных Юрой? б) больше суммы любых других 5 чисел исходной таблицы, удовлетворяющих условию: никакие два из них не лежат в одной строке или в одном столбце?

10-11 классы

Баллы	Задачи
4	1. Дан выпуклый 100-угольник. Докажите, что можно отметить такие 50 точек внутри этого многоугольника, что каждая вершина будет лежать на прямой, соединяющей какие-то две из отмеченных точек.
5	2. Существуют ли такие целые положительные числа n и k, что десятичная запись числа 2n начинается числом 5k, а десятичная запись числа 5n начинается числом 2k?
5	3. Дан многочлен P(x)=x4+x3-3x2+x+2. Докажите, что любая целая положительная степень этого многочлена имеет хотя бы один отрицательный коэффициент.
6	4. В треугольнике ABC проведена биссектриса AA1, на отрезке AA1 выбрана точка X. Прямая BX пересекает AC в точке B1, а прямая CX пересекает AB в точке C1. Отрезки A1B1 и CC1 пересекаются в точке P, а отрезки A1C1 и BB1 пересекаются в точке QPAC и QAB равны.
6	5. Докажите, что можно найти бесконечно много пар целых чисел, так чтобы в десятичной записи каждого числа все цифры были не меньше 7, и произведение чисел каждой пары тоже было числом, где все цифры не меньше 7.
4  3	6. На окружности сидят 12 кузнечиков в различных точках. Эти точки делят окружность на 12 дуг. По сигналу кузнечики одновременно прыгают по часовой стрелке, каждый - из конца своей дуги в ее середину. Образуются новые 12 дуг, прыжки повторяются, и т.д. Может ли хотя бы один кузнечик вернуться в свою исходную точку после того, как им сделано а) 12 прыжков; б) 13 прыжков?
8	7. Муравей ползает по замкнутому маршруту по ребрам додекаэдра, нигде не разворачиваясь назад. Маршрут проходит ровно два раза по каждому ребру. Докажите, что некоторое ребро муравей оба раза проходит в одном и том же направлении. (Напомним, что у додекаэдра 20 вершин, 30 ребер и 12 одинаковых граней в виде пятиугольника, в каждой вершине сходится 3 грани.)