ДВАДЦАТЬ СЕДЬМОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ

Задачи осеннего тура

Тренировочный вариант            16 октября 2005 г.

Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты


Баллы за пункты одной задачи суммируются

6-7-8¢ классы

Баллы	Задачи
3 1	1. а) В каждой вершине квадрата записано по числу. Вместо каждого числа записывают среднее арифметическое чисел, стоящих в двух соседних вершинах (числа заменяют одновременно). После 10 таких операций в каждой вершине оказалось исходное число. Обязательно ли все исходные числа были одинаковы? б) Верно ли, что если после 9 операций в каждой вершине оказалось исходное число, то все исходные числа были одинаковы?
4	2. Шахматная фигура может сдвигаться на 5 или 6 клеток по горизонтали или вертикали. Запрещается ходить на одну и ту же клетку дважды. Какое наибольшее количество клеток может обойти эта фигура на доске 9х9? (Начать обход разрешается с любой клетки.)
1 2 2	3. В новогоднюю ночь собрались 30 человек. Десять из них носят имя Боря, десять – Леня, у остальных десяти различные имена, отличные от уже упомянутых. В полночь они все рассядутся за круглый праздничный стол и каждый загадает одно желание, но исполнится желание только у тех, кто окажется между двумя людьми с одинаковыми именами. Какое: а) наименьшее, б) наибольшее количество желаний может исполниться? в) какое наименьшее и какое наибольшее количество желаний может исполниться в случае, если последние десять человек носят имя Вова?
5	4. Все двузначные числа от 10 до 99 расставляются подряд так, что в итоге получается 180-значное число. Можно ли их расставить так, чтобы в итоге получилось число, делящееся нацело на 72? (Если нет – докажите, если да, то предложите хотя бы один вариант.)
5	5. Отрезок единичной длины разбили на три отрезка, длина каждого из которых не превосходит а. При каких значениях а можно наверняка утверждать, что из получившихся отрезков можно составить треугольник?

8-9 классы

Баллы	Задачи
3	1. Дан треугольник ABC. Точки M1, M2, M3 – середины сторон AB, BC и AC, а точки H1, H2 и H3 – основания высот, лежащие на тех же сторонах. Докажите, что из отрезков H1M2, H2M3 и H3M1 можно построить треугольник.
3	2. В каждой вершине куба записано по числу. Вместо каждого числа записывают среднее арифметическое чисел, стоящих в трех соседних вершинах (числа заменяют одновременно). После 10 таких операций в каждой вершине оказалось исходное число. Обязательно ли все исходные числа были одинаковы?
4	3. Отрезок единичной длины разбили на одиннадцать отрезков, длина каждого из которых не превосходит а. При каких значениях а можно утверждать, что из любых трех получившихся отрезков можно составить треугольник?
4	4. Шахматная фигура может сдвигаться на 8 или 9 клеток по горизонтали или вертикали. Запрещается ходить на одну и ту же клетку дважды. Какое наибольшее количество клеток может обойти эта фигура на доске 15x15? (Начать обход разрешается с любой клетки.)
5	5. Есть 6 монет, одна из которых фальшивая (она отличается по весу от настоящей, но ее вес, как и вес настоящей монеты, неизвестен). Как за 3 взвешивания с помощью весов, показывающих общий вес взвешиваемых монет, найти фальшивую монету?

      10-11 классы

Баллы	Задачи
3	1. Можно ли уместить два точных куба между соседними точными квадратами? Иными словами, имеет ли решение в целых числах неравенство: n2 < a3 < b3 < (n+1)2 ?
3	2. Дан отрезок длины Ö2+Ö3+Ö5. Можно ли построить циркулем и линейкой (на которой нет делений) отрезок длины 1?
4	3. Есть 6 монет, одна из которых фальшивая (она отличается по весу от настоящей, но ее вес, как и вес настоящей монеты, неизвестен). Как за три взвешивания с помощью весов, показывающих общий вес взвешиваемых монет, найти фальшивую монету?
2 2	4. На сторонах прямоугольного треугольника ABC построены во внешнюю сторону квадраты с центрами D, E, F. Докажите, что отношение площадей треугольников DEF и ABC а) больше 1; б) не меньше 2.
5	5. На плоскости лежал куб. Его перекатили несколько раз (через ребра) так, что куб снова оказался на исходном месте той же гранью вверх. Могла ли при этом верхняя грань повернуться на 90 градусов относительно своего начального положения?