ДВАДЦАТЬ ДЕВЯТЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ

Задачи осеннего тура

Тренировочный вариант            21 октября 2007 г.

Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты


Баллы за пункты одной задачи суммируются

6-7 (5) классы

Баллы	Задачи
1  2	1. а) Какое наибольшее число белых и чёрных фишек можно расставить на доске 6×6 так, чтобы на любой горизонтали и на любой вертикали белых фишек было ровно в два раза больше, чем чёрных? (Каждая фишка занимает отдельную клетку.) б) Та же задача для обычной шахматной доски 8×8.
2  3	2. а) Натуральное число называют палиндромом, если оно симметрично относительно своей середины. Например, 121, 14341. Легко найти много пар палиндромов, содержащих одинаковое число цифр, сумма которых снова является палиндромом, например: 121 + 343 = 464. Докажите, что существует пара палиндромов с разным количеством цифр, сумма которых является палиндромом. б) Докажите, что существует 100 таких пар.
5	3. В таблицу 7×7 вписали числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, каждое по 7 раз. Оказалось, что сумма чисел над главной диагональю в три раза больше суммы чисел под этой диагональю. Найдите число, вписанное в центральную клетку таблицы.
5	4. На бумажке записаны 1 и некоторое нецелое число x. За один ход разрешается записать на бумажку сумму или разность любых двух уже записанных чисел или записать число, обратное к какому-нибудь из уже записанных чисел. Можно ли за несколько ходов получить на бумажке число x2?
5	5. Фокусник с завязанными глазами выдает зрителю шесть карточек с номерами от 1 до 6. Зритель прячет две карточки, а остальные отдает ассистенту фокусника. Ассистент указывает зрителю на две из них, и зритель называет номера этих карточек фокуснику (в том порядке, в каком захочет). После этого фокусник угадывает номера карточек, спрятанных у зрителя. Как фокуснику и ассистенту договориться, чтобы фокус всегда удавался?

8-9-10 (12-летн.) классы

Баллы	Задачи
3	1. Какое наибольшее число белых и чёрных фишек можно расставить на шахматной доске так, чтобы на любой горизонтали и на любой вертикали белых фишек было ровно в два раза больше, чем чёрных? (Каждая фишка занимает отдельную клетку.)
4	2. На бумажке записаны 1 и некоторое нецелое число x. За один ход разрешается записать на бумажку сумму или разность каких-нибудь двух уже записанных чисел или записать число, обратное к какому-нибудь из уже записанных чисел. Можно ли за несколько ходов получить на бумажке число x2?
4	3. Середина одной из сторон треугольника и основания высот, опущенных на две другие стороны, образуют равносторонний треугольник. Верно ли, что исходный треугольник тоже равносторонний?
5	4. В таблицу 29×29 вписали числа 1, 2, 3, ... , 29, каждое по 29 раз. Оказалось, что сумма чисел над главной диагональю в три раза больше суммы чисел под этой диагональю. Найдите число, вписанное в центральную клетку таблицы.
5	5. Фокусник с завязанными глазами выдает зрителю пять карточек с номерами от 1 до 5. Зритель прячет две карточки, а три отдает ассистенту фокусника. Ассистент указывает зрителю на две из них, и зритель называет номера этих карточек фокуснику (в том порядке, в каком захочет). После этого фокусник угадывает номера карточек, спрятанных у зрителя. Как фокуснику и ассистенту договориться, чтобы фокус всегда удавался?

10-11 классы

Баллы	Задачи
3	1. Есть сто картинок, на каждой изображены взрослый и ребенок ростом поменьше (все 200 человек на картинках разные). Из них надо собрать одну большую картину. Разрешается перед этим изменить масштаб каждой картинки, уменьшив её размеры в целое число раз (масштабы разных картинок можно менять независимо друг от друга). Докажите, что можно добиться, чтобы на большой картине все взрослые были выше всех детей.
2  2	2. На бумажке записаны три положительных числа: x, y и 1. За один ход разрешается записать на бумажку сумму или разность каких-нибудь двух уже записанных чисел или записать число, обратное к какому-нибудь из уже записанных чисел. Можно ли за несколько ходов получить на бумажке а) число x2? б) число xy?
4	3. Дана прямая и две точки А и В, лежащие по одну сторону от этой прямой на равном расстоянии от нее. Как с помощью циркуля и линейки найти на прямой такую точку С, что произведение АС×ВС будет наименьшим?
4	4. Фокусник с завязанными глазами выдает зрителю 29 карточек с номерами от 1 до 29. Зритель прячет две карточки, а остальные отдает ассистенту фокусника. Ассистент указывает зрителю на две из них, и зритель называет номера этих карточек фокуснику (в том порядке, в каком захочет). После этого фокусник угадывает номера карточек, спрятанных у зрителя. Как фокуснику и ассистенту договориться, чтобы фокус всегда удавался?
1  2  2	5. Квадрат со стороной 1 см разрезан на три выпуклых многоугольника. Может ли случиться, что диаметр каждого из них не превосходит а) 1 см; б) 1,01 см; в) 1,001 см? (Диаметром многоугольника называется максимальное расстояние между его вершинами).

Основной вариант            28 октября 2007 г.

Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты


Баллы за пункты одной задачи суммируются

6-7-8 классы

Баллы	Задачи
3	1. Определите угол между часовой и минутной стрелкой, если часы показывают 13.25.
3	2. Определите делитель в такой схеме деления
3	3. Можно ли из прямоугольников 1 × 1, 1 × 2, 1 × 3, …, 1 × 2007 составить прямоугольник, каждая сторона которого больше 1? Если да, то покажите как, если нет – докажите.
6	4. Стоимость одного билета в кино – 5000 рублей, но если кто-то покупает сразу пять билетов, то шестой он получает бесплатно. Сложившись, несколько учеников одной школы приобрели себе билеты, что позволило им сэкономить некоторую сумму. Однако затем один из учеников с досадой заметил, что если бы они купили не по одному билету, а по два, то каждый билет стоил бы на 10 рублей дешевле. А какова была бы экономия, если бы каждый купил по четыре билета?
6	5. На некоторых клетках шахматной доски стоит по фишке. Ходом фишки называется перестановка ее через фишку, стоящую на соседней (по горизонтали, вертикали или диагонали) клетке, непосредственно за которой на той же линии имеется свободная клетка. Какое наибольшее число фишек может насчитывать такое их положение на доске, в котором любая фишка может сделать первый ход?
8	6. Дана клетчатая полоса 1 × N. Двое играют в следующую игру. На очередном ходу первый игрок ставит в одну из свободных клеток крестик, а второй - нолик. Не разрешается ставить в соседние клетки два крестика или два нолика. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может всегда выигрывать (как бы ни играл его соперник)?
5  5	7. Фокуснику завязывают глаза, а зритель выкладывает в ряд N одинаковых монет, сам выбирая, какие – орлом вверх, а какие – решкой. Ассистент фокусника просит зрителя написать на листе бумаги любое число от 1 до N и показать его всем присутствующим. Увидев число, ассистент указывает зрителю на одну из монет ряда и просит перевернуть её. Затем фокуснику развязывают глаза, он смотрит на ряд монет и безошибочно определяет написанное зрителем число. а) Докажите, что если у фокусника с ассистентом есть способ, позволяющий фокуснику гарантированно отгадывать число для N=a, то есть способ и для N=2a. б) Найдите все значения N, для которых у фокусника с ассистентом есть способ.

9-10 (12-летн.) классы

Баллы	Задачи
5	1. На стороне CD ромба ABCD нашлась такая точка K, что AD=BK. Пусть F – точка пересечения диагонали BD и серединного перпендикуляра к стороне BC. Докажите, что точки A, F и K лежат на одной прямой.
3  3	2. а) Петя и Вася задумали по три натуральных числа. Петя для каждых двух из своих чисел написал на доске их наибольший общий делитель. Вася для каждых двух из своих чисел написал на доске их наименьшее общее кратное. Оказалось, что Петя написал на доске те же числа, что и Вася (возможно, в другом порядке). Докажите, что все написанные на доске числа равны. б) Останется ли верным утверждение предыдущей задачи, если Петя и Вася изначально задумают по четыре натуральных числа?
6	3. Миша стоит в центре круглой лужайки радиуса 100 метров. Каждую минуту он делает шаг длиной 1 метр. Перед каждым шагом он объявляет направление, в котором хочет шагнуть. Катя имеет право заставить его сменить направление на противоположное. Может ли Миша действовать так, чтобы в какой-то момент обязательно выйти с лужайки, или Катя всегда сможет ему помешать?
7	4. Дана клетчатая полоса 1 × N. Двое играют в следующую игру. На очередном ходу первый игрок ставит в одну из свободных клеток крестик, а второй - нолик. Не разрешается ставить в соседние клетки два крестика или два нолика. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может всегда выигрывать (как бы ни играл его соперник)?
8	5. Дан набор из нескольких гирек, на каждой написана масса. Известно, что набор масс и набор надписей одинаковы, но возможно некоторые надписи перепутаны. Весы представляют из себя горизонтальный отрезок, закреплённый за середину. При взвешивании гирьки прикрепляются в произвольные точки отрезка, после чего весы остаются в равновесии либо отклоняются в ту или иную сторону. Всегда ли удастся за одно взвешивание проверить, все надписи верны или нет? (Весы будут в равновесии, если сумма моментов гирь справа от середины отрезка равна сумме моментов гирь слева (иначе отклонятся в сторону, где сумма больше). Моментом гири называется произведение ms массы гири m на расстояние s от неё до середины.)
4  5	6. Фокуснику завязывают глаза, а зритель выкладывает в ряд N одинаковых монет, сам выбирая, какие – орлом вверх, а какие – решкой. Ассистент фокусника просит зрителя написать на листе бумаги любое число от 1 до N и показать его всем присутствующим. Увидев число, ассистент указывает зрителю на одну из монет ряда и просит перевернуть её. Затем фокуснику развязывают глаза, он смотрит на ряд монет и безошибочно определяет написанное зрителем число. а) Докажите, что если у фокусника с ассистентом есть способ, позволяющий фокуснику гарантированно отгадывать число для N=a, то есть способ и для N=2a. б) Найдите все значения N, для которых у фокусника с ассистентом есть способ.
9	7. Володя решил стать великим писателем. Для этого он каждой букве русского языка сопоставил слово, содержащее эту букву. Потом написал слово, сопоставленное букве "А". Дальше каждую букву в нём заменил на сопоставленное ей слово (разделяя слова пробелами), потом в получившемся тексте вновь заменил каждую букву на сопоставленное ей слово, и так всего 40 раз. Володин текст начинается так: "Ряд кораблей на дремлющих морях". Докажите, что этот оборот встречается в Володином тексте ещё хотя бы раз.

10-11 классы

Баллы	Задачи
2  2	1. а) Петя и Вася задумали по три натуральных числа. Петя для каждых двух из своих чисел написал на доске их наибольший общий делитель. Вася для каждых двух из своих чисел написал на доске их наименьшее общее кратное. Оказалось, что Петя написал на доске те же числа, что и Вася (возможно, в другом порядке). Докажите, что все написанные на доске числа равны. б) Останется ли верным утверждение предыдущей задачи, если Петя и Вася изначально задумают по четыре натуральных числа?
6	2. Диагонали вписанного четырехугольника пересекаются в точке P. Пусть K, L, M, N – середины сторон четырехугольника. Докажите, что радиусы описанных окружностей треугольников PKL, PLM, PMN и PNK равны.
6	3. Найдите все возрастающие арифметические прогрессии с конечным числом членов, сумма которых равна 1, и каждый член имеет вид 1/k, где k – натуральное.
6	4. Дан набор из нескольких гирек, на каждой написана масса. Известно, что набор масс и набор надписей одинаковы, но возможно некоторые надписи перепутаны. Весы представляют из себя горизонтальный отрезок, закреплённый за середину. При взвешивании гирьки прикрепляются в произвольные точки отрезка, после чего весы остаются в равновесии либо отклоняются в ту или иную сторону. Всегда ли удастся за одно взвешивание проверить, все надписи верны или нет? (Весы будут в равновесии, если сумма моментов гирь справа от середины отрезка равна сумме моментов гирь слева (иначе отклонятся в сторону, где сумма больше). Моментом гири называется произведение ms массы гири m на расстояние s от неё до середины.)
4  4	5. Фокуснику завязывают глаза, а зритель выкладывает в ряд N одинаковых монет, сам выбирая, какие – орлом вверх, а какие – решкой. Ассистент фокусника просит зрителя написать на листе бумаги любое число от 1 до N и показать его всем присутствующим. Увидев число, ассистент указывает зрителю на одну из монет ряда и просит перевернуть её. Затем фокуснику развязывают глаза, он смотрит на ряд монет и безошибочно определяет написанное зрителем число. а) Докажите, что если у фокусника с ассистентом есть способ, позволяющий фокуснику гарантированно отгадывать число для N=a и N=b, то есть способ и для N = ab. б) Найдите все значения N, для которых у фокусника с ассистентом есть способ.
8	6. На плоскости нарисованы два выпуклых многоугольника P и Q. Для любой стороны многоугольника P многоугольник Q можно зажать между двумя прямыми, параллельными этой стороне. Обозначим через h расстояние между этими прямыми, а через l – длину стороны, и вычислим произведение lh. Просуммировав такие произведения по всем сторонам P, получим некоторую величину (P,Q). Докажите, что (P,Q) = (Q,P).
3  5	7. Перед Алешей 100 закрытых коробочек, в каждой – либо красный, либо синий кубик. У Алеши на счету есть рубль. Он подходит к любой закрытой коробочке, объявляет цвет и ставит любую сумму (можно нецелое число копеек, но не больше, чем у него на счету в данный момент). Коробочка открывается, и Алешин счет увеличивается или уменьшается на поставленную сумму в зависимости от того, угадан или не угадан цвет кубика. Игра продолжается, пока не будут открыты все коробочки. Какую наибольшую сумму на счету может гарантировать себе Алеша, если ему известно, что а) синих кубиков ровно 1; б) синих кубиков ровно n. (Замечание. Алеша может поставить и 0, то есть просто бесплатно открыть коробочку и увидеть цвет кубика.)