Задачи Проблемного семинара «ЮНИ-центра-ХХI» в 2005-06 уч.г.        
   Вторник, 17.30, ауд. 606 глав. корпуса БГУ

1. Химики и алхимики. На конгресс собралось 1990 ученых – химиков и алхимиков. Химик правдив, а алхимик может и соврать. Химиков больше. За какое минимальное число вопросов можно установить, кто есть кто?

   Попробуйте дать общую постановку этой задачи и исследовать хотя бы некоторые из предложенных направлений. При этом следует стремиться к построению общей математической модели этой задачи, зависящей от типов вопросов и ответов, наличия не только правдивых и лживых, но и полуправдивых (получестных), знания различными учеными друг друга, возможности накапливания информации и т.п. (возможно моделей будет несколько!).

2. Мудрецы. Хорошо известна следующая задача: «Три мудреца А, В и С участвуют в конкурсе на сообразительность. Ведущий просит их закрыть глаза, предупреждает, что оденет на каждого из низ красную или синюю шляпу (на самом деле одевает на каждого – красную), затем просит открыть глаза и поднять руку тех, кто видит на ком-либо из соседей красную шляпу. Естественно все трое сразу подняли руку. Задание: кто быстрее всех догадается какого цвета шляпа на его голове, тот будут победителем (своих шляп мудрецы не видят, они безошибочно могут делать различные логические рассуждения, только с разной скоростью). Мудрецы задумались; наконец, кто-то из них сказал: «Я знаю, на мне красная шляпа.» Как он рассуждал.»

   Исследование состоит в следующем: изучить возможность распространения этой задачи на п мудрецов (возможно, с дополнительными условиями). В частности, для двух мудрецов задача тривиальна.

3. Геометрия в квадрате (на круге, на кубе и т.п.). Возьмем произвольный квадрат (для определенности, можно считать длину его стороны равной 1) и две произвольные точки внутри квадрата. Определим прямую, проходящую через две точки, следующим образом. Прямая проходит через указанные точки и продолжается до каких-то сторон квадрата, затем отражается от них по закону «угол падения равен углу отражения», далее до следующих сторон и т.д. Задача исследовать свойства такой прямой (возможность самопересечения, «зацикливания», вычисления длины цикла, прохождения через конкретные заданные точки, различные задачи на построение, и т.д.). Особые случаи возникают, когда один или оба луча прямой попадают в угол квадрата. Описать такие случаи и изучить их.

   Аналогично можно ставить такую задачу для круга и т.п. В частности, см. задачу «геометрия на кубе».

4. Развертки. Найти все различные развертки куба, игральной кости (т.е. куба с номерами на гранях), прямоугольного параллелепипеда, правильной пирамиды. Важно получить способы вычисления количества различных разверток (рекуррентную формулу, алгоритм или что-либо другое с теоретическим обоснованием). С м . с в я з ь с о с л е д у ю щ е й з а д а ч е й . (Верно ли, что если центры граней пометить точками (вершины графа), то после развертки будем получать деревья?)

5. Деревья. На плоскости заданы К точек. А) Какое количество различных деревьев с вершинами в этих точках можно построить. Б) Какое количество попарно неизоморфных деревьев с вершинами в этих точках можно построить. И з у ч и с в я з ь с п р е д ы д у щ е й з а д а ч е й .

6. Корни специальных рациональных уравнений.Известно, как определить рациональные корни уравнений вида с целыми (или рациональными) коэффициентами. Можно (существуют алгоритмы) определить корни вида где а, в Î Q, таких уравнений. Можно определять корни более сложного вида (даже очень сложного вида – со многими вложенными корнями) и т.п. Следующий шаг в этой задаче – нахождение корней разного вида для рациональных уравнений, коэффициенты которых сами имеют достаточно сложный вид (например, где а, в Î Q, или даже а + вp  и т.п.). Может оказаться связь со следующей задачей.

7. Необычные скалярные произведения. 1) Множество чисел где а, в Î Q (будем обозначать такое множество Q()), обладает рядом свойств векторных пространств, в частности: . Действительно, Q( ) – двумерное векторное пространство. Если взять в качестве базиса этого пространства вектора 1 и то вектор будет задаваться в этом базисе координатами (а, в). Можно говорить о сумме векторов в этом пространстве, умножении на скаляр и т.п. Но можно ли ввести на нем скалярное произведение и если можно, то как?
   2) Обычно скалярное произведение задается по формулам: . Скалярное произведение удовлетворяет ряду свойств: коммутативный закон, дистрибутивный и т.п. А если скалярное произведение задать так: . Многие свойства при этом сохраняются, например: . Однако закон дистрибутивности здесь не выполняется. В чем дело?
   Изучите эти (и другие операции) над различными множествами векторов. В частности, «скалярное произведение» введенное вами на векторном пространстве в п. 1) может оказаться полезным для решения задачи 6.

8. Монотонные квадратные числа.
   Найдите все монотонные квадратные числа, т.е. числа, являющиеся квадратами целых чисел, и цифры которых образуют монотонную последовательность. Например, 16, 1156, 111556, …, 49, 4489, 444889, … .

9. Симметричные квадратные числа.
   Найдите все симметричные квадратные числа, т.е. являющиеся квадратами целых чисел, а цифры которых симметричны относительно середины числа. Например, 121, 484, … (указанные числа являются квадратами симметричных чисел, 11, 22, их будет нетрудно указать или описать); 676 (= 26², такие числа найти и описать уже будет сложно).

10. Почти центры симметрии.
    Пусть М – конечное множество точек на плоскости. Точку О назовем «почти центром симметрии» множества М, если из множества М можно выбросить одну точку так, что О будет центром симметрии оставшегося множества. Сколько «почти центров симметрии» может иметь множество М? Обобщите эту задачу. Может быть удастся построить теорию почти центров симметрии (или аналогичных преобразований плоскости).

См. также задачи Республиканского турнира юных математиков («Настауницкая газета» от 08.10.2005 г., или в Интернете на сайте «ЮНИ-центра-ХХ»