2.     Докажите, что если четыре точки лежат в одной плоскости, то длина наибольшего из отрезков, образованных этими точками, превышает длину наименьшего не менее чем в раз.

3.     Обобщите задачи пунктов 1 и 2 на п точек (хотя бы для некоторых значений п).

4.     Пусть п точек лежат на одной окружности. Расстояния между двумя точками на окружности можно определять по-разному. Например, как длину меньшей дуги окружности, концами которой они являются. Или, как длину хорды их соединяющей. Решите задачи аналогичные предыдущим для точек, лежащих на окружности, с различными определениями расстояния.

5.     Придумайте и исследуйте другие обобщения этой задачи (например, для точек, принадлежащих другим фигурам, или для точек в пространстве).

2.       Суммы цифр последовательности натуральных чисел (В.И.Кот (г.п. Ивье); задача № 7 Седьмого РТЮМ, дек. 2005 г.) Будем рассматривать числа в 10-й системе счисления. Для каждого натурального числа п определим значение s(п) – сумму цифр всех натуральных чисел от 1 до п включительно.

1.     Найдите такое п, что s(п) = 901.

2.     Докажите, что для всех натуральных т верно равенство s(10^т– 1) = 45·т·10^т-1.

3.      Докажите, что для двузначного числа  имеет место формула:

4.     Найдите аналогичную формулу для трехзначных чисел.

5.     Вычислите σ(2005).

6.     Выведите общую или рекуррентную формулу для σ(),

7.     Предложите свои обобщения этой задачи и исследуйте их. В частности (Задворный Б.В.), изучить соотношения такого рода: между s(п) и s(2п) и т.п.; между s(п) и s₂(2п), где s₂(2п) сумма цифр всех четных натуральных чисел от 2 до 2п; вообще, между s(п) и s_f(f(п)), где s_f(f(п)) – сумма цифр п чисел вида f(1), f(2), …, f(п), f(х) – некоторая функция. (Примечание. Переход в другие системы счисления, видимо, не дает интересных результатов, но может выявить новые красивые идеи и подсказки.)

8.     См. и ср. также некоторые следующие задачи.

3.       Комбинации цифр в степенях.

А) Число  может начинаться с любой комбинации цифр. Доказать. Почему ? А если  или , …,.

Б) Докажите, что найдется такое n, что числа 2ⁿ и 3ⁿ одновременно начинаются с цифр 1000… . А если с другой комбинации цифр? А если вообще – начало с любой наперед заданной комбинации для каких-то степеней произвольных (?) чисел.

В) Существует бесконечно много п таких, что  заканчивается на п. А для , …,? А какие могут из них могут одновременно заканчиваться на одинаковые комбинации цифр или их окончания в каком-то смысле близки?

4.       Задачи про суммы цифр различных чисел (отталкиваемся от известных). Обозначим через S(y) сумму цифр числа y.

А) Докажите, что существует бесконечно много номеров N, таких, что S(2^N)>S(2^N+1).

Б) Докажите, что ®¥ при n®¥. Проверить, что это – предел или неограниченность последовательности!!! А что можно сказать про другие числа в степени п? Существуют ли числа, для которых подобная последовательность ограничена?

В) При каких K отношение суммы цифр N к сумме цифр K·N ограничено? А обратное отношение? Другие отношения?

5.       Неравенства в целых числах. Докажите, что неравенство  имеет только конечное число решений. Вообще исследовать подобные неравенства.

6.       Вложения в арифметических прогрессии.

А) Могут ли четыре квадрата целых чисел (последовательные или нет) образовать арифметическую прогрессию?

Б) При каких условиях значения функции f(х) при натуральных х (т.е. f(1), f(2), …, f(п)) могут образовывать арифметическую прогрессию? Например:

В) Была: доказать, что нетривиальная (непостоянная) геометрическая прогрессия, состоящая из четырех членов, не может быть одновременно арифметической прогрессией.

7.       Правильные многоугольники

Для каких K найдется неплоский правильный K-угольник? (Источник).

Вообще, попробуем определить более общее понятие правильного многоугольника: (обычный, звездчатый (самопересекающийся?), пространственный. Какие из существуют? Изучить их свойства.

8.       Корни специальных рациональных уравнений. Известно, как определить рациональные корни уравнений вида с целыми (или рациональными) коэффициентами. Можно (существуют алгоритмы) определить корни вида где а, в Î Q, таких уравнений. Можно определять корни более сложного вида (даже очень сложного вида – со многими вложенными корнями) и т.п. Следующий шаг в этой задаче – нахождение корней разного вида для рациональных уравнений, коэффициенты которых сами имеют достаточно сложный вид (например,  где а, в Î Q, или даже а + вp  и т.п.). Может оказаться  связь со следующей задачей.

9.       Необычные скалярные произведения. 1) Множество чисел где а, в Î Q (будем обозначать такое множество Q()), обладает рядом свойств векторных пространств, в частности: . Действительно, Q() – двумерное векторное пространство. Если взять в качестве базиса этого пространства вектора 1 и , то вектор  будет задаваться в этом базисе координатами (а, в). Можно говорить о сумме векторов в этом пространстве, умножении на скаляр и т.п. Но можно ли ввести на нем скалярное произведение и если можно, то как?

2) Обычно скалярное произведение задается по формулам: . Скалярное произведение удовлетворяет ряду свойств: коммутативный закон, дистрибутивный и т.п. А если скалярное произведение задать так: . Многие свойства при этом сохраняются, например: . Однако закон дистрибутивности здесь не выполняется. В чем дело?

Изучите эти (и другие операции) над различными множествами векторов. В частности, «скалярное произведение» введенное вами на векторном пространстве в п. 1) может оказаться полезным для решения задачи 6.

10.    О делимости сумм цифр натуральных чисел.

   Докажите, что среди 39 последовательных натуральных чисел обязательно найдется такое, у которого сумма цифр делится на 11. Можно ли уменьшить здесь число 39. Исследовать аналогичную задачу для делимости суммы цифр на 2, 3, 4, … .

11.    О некоторых преобразованиях упорядоченных четверок (п-к) чисел.

а) Дана четверка положительных чисел (a, b, c, d). Из нее получается новая четверка (ab, bc, cd, da) по следующему правилу: каждое число умножается на следующее, четвертое – на первое. Из новой четверки по этому же правилу получается третья и т.д. Докажите, что в полученной последовательности четверок никогда не встретится исходная, за исключением случая, когда все числа равны 1.

б)  Дан произвольный набор чисел 1 и -1 длиной 4 (длиной 8, …, длиной 2^k). С набором (наборами) выполняются действия такие же как в пункте а). Докажите, что в конце концов получится набор, состоящий из одних 1.

12.    О некоторых расстановках натуральных чисел.

Можно ли расставить натуральные числа так, чтобы разность между двумя соседними числами была равна 2 или 3 (3 или 4) и т.д. Изучите свойства таких расстановок (существование, единственность и др.).

См. также задачи Республиканского турнира юных математиков («Настауницкая газета» от 05 (или 07) октября 2006 г., или в Интернете на сайте «ЮНИ-центра-ХХI»