Главная | Деятельность | Мероприятия | Школа юных | Работа с учителями | | |
Мероприятия » Седьмой республиканский турнир юных математиков | |
Задача № 1. К неравенству Коши-Буняковского Пусть где 1.
Докажите,
что существуют такие, что С = п – 1. 2.
Докажите,
что величина C не может принимать
натуральные значения, меньшие п – 1. 3.
Попробуйте
указать другие натуральные значения, которые величина С принимать не может, а также те натуральные значения, которые она
может принимать. Задача № 2.
Обобщение задачи о счастливых билетах. 1.
Номера
билетов в автобусе являются семизначными числами и могут начинаться с
нулей (например, 0000001). Дадим несколько возможных определений понятия
«счастливый билет». а) Номер билета будем называть счастливым, если а6 + а5
+ а4 = а2 + а1
+ а0. б) Номер билета будем называть счастливым, если а6 + а5
+ а4 + k1 = а2 + а1
+ а0 + k2, где k1 и k2 – цифры и k1 + k2 = а3. в) Номер билета будем называть счастливым, если |(а6
+ а5 + а4 + k1) – (а2 + а1
+ а0 + k2)| < t, где k1 + k2 = а3 и t = 1…37. Найти количество счастливых
билетов для случаев а), б) и в). 2.
Номер
билета является n-значным числом (n – нечетное). Определив
номера счастливых билетов аналогично подпунктам а), б), в) пункта 1 (в пункте
в) возьмите t – любое фиксированное
натуральное число), найдите количество счастливых билетов. 3.
Придумайте
другие обобщения этой задачи. Задача № 3.
Сравнение расстояний
1.
Четыре
точки, лежащие на одной прямой, задают 6 различных отрезков. Докажите, что
длина наибольшего из этих отрезков превышает длину наименьшего не менее чем в 3
раза. 2.
Докажите,
что если четыре точки лежат в одной плоскости, то длина наибольшего из
отрезков, образованных этими точками, превышает длину наименьшего не менее чем
в раз. 3.
Обобщите
задачи пунктов 1 и 2 на п точек (хотя
бы для некоторых значений п). 4.
Пусть
п точек лежат на одной окружности.
Расстояния между двумя точками на окружности можно определять по-разному.
Например, как длину меньшей дуги окружности, концами которой они являются. Или,
как длину хорды их соединяющей. Решите задачи аналогичные предыдущим для точек,
лежащих на окружности, с различными определениями расстояния. 5.
Придумайте
и исследуйте другие обобщения этой задачи (например, для точек, принадлежащих
другим фигурам, или для точек в пространстве). Задача № 4.
Задача о многоугольниках, вписанных в многоугольники
Правильный многоугольник вписан в правильный многоугольник , т.е. все вершины многоугольника лежат на сторонах многоугольника . Докажите, что 1)
если
m > n = 3, то m = 4 или m = 6; 2)
если
m > n > 3, то m =
2n. Опишите множество пар чисел
(m, n) при условии, что . Предложите свои обобщения этой задачи (например, на случай невыпуклых
правильных многоугольников, для многоугольников из других классов, на случай
многогранников). Задача № 5. Почти монотонные
последовательности
Пусть и – две
последовательности действительных чисел. Будем писать , если каждое действительное число встречается в
последовательности не меньшее число раз,
чем в последовательности . Если, кроме того, выполнено , то напишем (в этом случае
последовательность получается из перестановкой
членов). Докажите (или опровергните)
следующие утверждения: 1.
Пусть
, где – последовательность
положительных чисел. Тогда: 1. а) для
любого конечного набора первых членов последовательности найдется такой член ат, что ат меньше всех аi, (i = 1,
2, …, k); 1. б) существует номер , для которого меньше всех
предыдущих членов ; 1. в) существует бесконечно
много номеров , для которых меньше всех
предыдущих членов . 2.
а) Пусть . Тогда существует бесконечно много номеров , для которых превосходит все
следующие за ним члены . 2. б)
Пусть, в дополнение к 2. а), – последовательность
положительных чисел такая, что и . Тогда
существует бесконечно много номеров , для которых превосходит все
следующие за ним члены , но больше всех
предыдущих членов . 3.
Пусть
, где – действительные
числа, и - некоторое число,
большее 1. Тогда существует такой номер (возможно,
неединственный), , что: -
все
отношения , , , … , не больше , -
а
любое из отношений , , , … , не меньше . 4.
Пусть
– последовательность
действительных чисел, удовлетворяющая условию . Тогда существует такое число
, что . 5.
Попробуйте
в пунктах 1, 2 и 3 сформулировать и доказать более сильные утверждения, а также
получить другие, похожие результаты. Задача №
6. Виды многочленов
Рассмотрим квадратные
трехчлены (многочлены 2-й степени) с целыми коэффициентами (обозначим множество
таких многочленов через Z2[x]). Будем считать вначале, что старшие коэффициенты всех этих
многочленов равны 1 и обозначать такое множество многочленов через Определим разные виды записи многочленов и множества многочленов,
которые могут быть представлены в соответствующем виде. 0)
Канонический вид: Ясно, что множество
многочленов, представляемых в таком виде и есть 1)
Канонический вид со сдвигом: Соответствующее
множество многочленов обозначим через 2)
Факторизованный вид (разложение на линейные множители): Соответствующее
множество – 3)
Почти факторизованный вид: Соответствующее
множество – 1.
Попробуйте
исследовать включение одних из описанных множеств многочленов в другие.
Например, очевидно, что Последнее, в
частности, означает, что любой многочлен, представляемый в виде 1), 2) или 3),
может быть записан в виде 0). Для некоторых извозможно выполнение равенства 2.
Та
же задача, но для случая, когда старший коэффициент не обязательно равен 1, а
какому-то целому числу а. 3.
Та
же задача, но для случая принадлежности всех коэффициентов многочленов
множеству рациональных чисел (т.е. для многочленов с рациональными
коэффициентами (такое множество многочленов обозначим )). 4.
Попробуйте
найти другие направления исследований в этой задаче, обобщения и т.п.
(например, для случая многочленов более высоких степеней, других возможных
представлений (видов) многочленов и т.п.). Задача № 7. Суммы цифр натуральных чисел Будем рассматривать числа в
10-й системе счисления. Для каждого натурального числа п определим значение s(п) – сумму цифр всех натуральных чисел от 1 до п включительно. 1.
Найдите
такое п, что s(п)
= 901. 2.
Докажите,
что для всех натуральных т верно
равенство s(10т– 1) = 45·т·10т-1. 3.
Докажите, что для двузначного числа имеет место формула: 4.
Найдите
аналогичную формулу для трехзначных чисел. 5.
Вычислите
σ(2005). 6.
Выведите
общую или рекуррентную формулу для σ(), 7.
Предложите
свои обобщения этой задачи и исследуйте их. Задача № 8. Связисты
Два связиста играют в такую
игру. Имеется n телефонных узлов. Связисты
по очереди делают свои ходы. За один ход каждый из них может соединить кабелем k пар любых узлов. Узлы,
которые соединены кабелем, повторно не соединяются. Выигрывает тот связист,
после хода которого с любого узла можно будет дозвониться до любого другого
(быть может, через несколько промежуточных узлов). Выясните, кто выигрывает при
правильной игре – начинающий или его партнер? Рассмотрите другие варианты игры,
например: 1.
Пусть
игрок, после хода которого, между любыми узлами есть связь, проигрывает. 2.
Пусть
вначале все узлы попарно соединены кабелем, а связисты убирают по очереди по k
соединений. Игрок, нарушивший связь, проигрывает (выигрывает). Кто из игроков
выигрывает в этих играх при правильной стратегии? 3.
Попробуйте
сформулировать и решить аналогичную задачу для случая, когда игроков больше
двух. В любом пункте интересно
получить определенные результаты хотя бы для отдельных (даже небольших)
значений п и k. Задача № 9. Слоны на шахматной доске
С белого углового поля
шахматной доски размера n×m клеток (n > 1; m > 1) начинает двигаться
шахматный слон. Дойдя до края доски, слон поворачивает под прямым углом. Попав
в угол, он останавливается. 1.
При
каких значениях n и m, слон обойдет все белые
поля доски? 2.
Сколько
всего полей он обойдет на доске n×m (при различных значениях n и m)? 3.
Рассмотрите
аналоги этой задачи для других видов досок (цилиндрических, тороидальных и
т.д.) и для других видов фигур (например, для слонов, которые не могут пройти
более k клеток в одном направлении
по диагонали, ибо после этого должны перескакивать на ближайшую справа
параллельную диагональ и продолжать по ней свой путь). Задача № 10.
Обобщение игры в «пятнадцать» 1.
В
плоской квадратной коробке 4´4 в некотором порядке
размещены 15 одинаковых фишек квадратной формы, одно место (будем называть его
клеткой) остается свободным. Фишки пронумерованы числами от 1 до 15 (например,
так, как на рис.1а). Не вынимая фишек из коробки, а лишь последовательно
передвигая их друг за другом на свободную клетку (движение одной фишки с одной
клетки на другую считается одним ходом), нужно разместить их в порядке
возрастания номеров так, как на рис. 1б.
В дальнейшем для удобства будем использовать для
обозначения клеток шахматную нумерацию (например, а1, с2, и т.п., см. рис.
1а и 1б), а расположения фишек в коробке будем называть позицией. Попробуйте
ответить на следующие вопросы. а) Из каких исходных позиций
можно за конечное число ходов перейти в позицию, указанную на рис. 1б? Укажите
все позиции, из которых это можно сделать, и все позиции, из которых такой
переход невозможен. б) Для позиций, из которых
можно перейти в позицию 1б, попробуйте определить наименьшее количество ходов,
необходимое для такого перехода. (Примечание.
Можете ли вы предложить общий подход для решения этой задачи. Для примера
найдите наименьшее необходимое количество ходов и соответствующий алгоритм
движения фишек для перехода в позицию 1б из какой-нибудь нетривиальной исходной
позиции.) 2.
В
плоской квадратной коробке 5´5 с одной вырезанной клеткой
в некотором порядке размещены 23 одинаковые фишки, пронумерованные числами от 1
до 23. Необходимо разместить их в порядке возрастания номеров. Исследуйте
вопросы, аналогичные вопросам пунктов 1.а) и 1.б) для следующих случаев. 2.1. Вырезана клетка с3
(нумерация клеток, как в п. 1), свободной в конечной позиции должна остаться
клетка е1. 2.2. Вырезана клетка е1
(нумерация клеток, как в п. 1), свободной в конечной позиции должна остаться
клетка с3. 3.
В
плоской квадратной коробке 6´6 с четырьмя вырезанными
клетками в некотором порядке размещена 31 фишка. Фишки пронумерованы числами от
1 до 31. Необходимо разместить их в порядке возрастания номеров. Исследуйте
вопросы, аналогичные вопросам пунктов 1.а) и 1.б) для следующих случаев. 3.1. Вырезаны клетки с3, с4, d3, d4, свободной в конечной
позиции должна остаться клетка f1. 3.2. Вырезаны клетки с3, с4, d4, f1, свободной в конечной
позиции должна остаться клетка d3. 4.
Придумайте
другие обобщения этой игры и исследуйте их. Например, для случаев коробок
размеров n´n, n ³ 7, или с другими вариантами
вырезанных клеток. Задача № 11. Свойства последовательностей из
остатков
Пусть задан набор из нулей и единиц Построим поднаборов по правилу: (1) Будем называть набор циклическим, если все попарно различны. 1.
Для
действительного числа a и натурального п
определим последовательность целых чисел по правилу (2) где обозначает остаток от
деления a на b. Показать, что для каждого
набора существует такое, что то есть набор (1)
представляет собой двоичную запись числа . 2.
Доказать,
что если для некоторого наборявляется циклическим и , то , или, в терминах последовательности (2), если и все при всех попарно различны, то . 3.
Найдите
количество циклических наборов при п = 3 и 4.
Показать,
что количество циклических наборов при п = 4 и равно 16. Предложите
алгоритм (его описание и обоснование), при помощи которого можно было бы решить
задачу при . 5.
Построим
набор по следующему правилу: положим Пусть для некоторого уже построены Если набор отличен от каждого
набора , то полагаем , в противном случае полагаем . Доказать, что так построенный является циклическим. Например, при п = 4 получим: 6.
Найти
количество циклических набор для произвольного п
с условием . 7. Изучая указанные в предыдущих пунктах вопросы, вы, возможно, получите ряд других полезных утверждений. Сформулируйте их и попробуйте развить исследования этой задачи в собственных направлениях. |
Главная | Деятельность | Мероприятия | Школа юных | Работа с учителями | | |
© 2004 «ЮНИ-центр XXI». | |